整數的表示法
整數的表示法決定運算方法
整數的長度決定可表示範圍
整數長度=算術邏輯運算單元的資料長度=word(字組)的長度
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complement(補數表示法)
1最適合加減法運算的整數表示法
2可表示正整數與負整數
3大多電子計算機採用complement表示整數
設b為基底，使用n個位數表示一整數，
則整數x的補數有以下兩種表示法:
1整數x的補數=b^n-x (b的補數)
ex:b=10,n=4,整數x=3725
則x的補數=10^4-3725=6275
若0~4999為正,5000~9999為負,則6275表示-3725，而且整數範圍值=-5000~4999
且3275+6275=10000=整數的0
ex:b=16,n=4,整數x=3562
則x的補數＝16^4-3562=CA9E
ex:b=8,n=4,整數x=3562
則x的補數＝8^4-3562=4216
ex:b=2,n=4,整數x=1011
則x的補數＝2^4-1011=0101
2整數x的補數=(b^n-1)-x (b-1的補數)
ex:b=10,n=4,整數x=3725
則x的補數=(10^4-1)-3725=6274
若0~4999為正,5000~9999為負,則6274表示-3725，而且整數範圍值=-4999~4999
且3275+6274=9999=整數的0
ex:b=16,n=4,整數x=3562
則x的補數＝(16^4-1)-3562=CA9D
ex:b=8,n=4,整數x=3562
則x的補數＝(8^4-1)-3562=4216
ex:b=2,n=4,整數x=1011
則x的補數＝(2^4-1)-1011=0100
則實數x的補數有以下兩種表示法:
1 實數x的補數=b^n-x (b的補數)
ex:b=10,n=2,實數x=37.25
則x的補數=10^2-37.25=62.75，
若0~49.99為正,50~99.99為負,則62.75表示-37.25，而且實數範圍值=-50.00~49.99
ex:b=2,n=4,實數x=1011.101,
則x的補數＝2^4-1011.101=0100.011
2 實數x的補數=(b^n-b^-m)-x (b-1的補數)
ex:b=10,n=2,實數x=37.25,m=2位小數
則x的補數=(10^2-10^-2)-37.25=62.74，
若0~49.99為正,50~99.99為負,則62.74表示-37.25，而且實數範圍值=-50.00~49.99
ex:b=2,n=4,實數x=1011.101,m=3位小數
則x的補數＝(2^4-2^-3)-1011.101=0100.010
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n位元2進位整數的表示法
無號數表示法
適合加法運算與比較運算
只能表示正整數而無法表示負整數
n個位元整數值範圍=0 ~ 2^n-1
ex:10010110在無號數表示法=128+16+4+2=150
符號絕對值表示法
將最左邊的位元當成符號位元，1為負數，0為正數
適合相反數轉換，不適合加法運算與比較運算
n個位元整數值範圍=-(2^(n-1)-1) ~ (2^(n-1)-1)
ex:10010110在符號絕對值表示法=-(16+4+2)=-22
ex:用符號絕對值表示法，69=01000101，-69＝11000101
1’s complement(1的補數表示法)
適合加法運算與相反數轉換，不適合比較運算
不需處理進位旗標
n個位元整數值範圍=-(2^(n-1)-1) ~ (2^(n-1)-1)
最左邊符號位元若為0表示正數,1表示負數
ex:設n=8,整數範圍=-127~127,負整數範圍=10000000~11111111,正整數範圍00000000~01111111
ex:10010110在1的補數表示法=-((2^8-1)-150)=11111111-10010110=01101001=-105
ex:10010110在1的補數表示法=10010110的相反=負的01101001=-105
ex:用1的補數表示法，69=01000101，-69＝10111010
2’s complement(2的補數表示法)
適合加法運算與相反數轉換，不適合比較運算
需處理進位旗標
n個位元整數值範圍=-(2^(n-1)) ~ (2^(n-1)-1)
最大正整數是(011111……1)，最小負數是(10000……0)
可直接使用binary adder(二進位加法器)來表示整數，一般電子計算機用
ex:1個byte的可表示範圍為10000000~01111111=-128~127
ex:10010110在2的補數表示法=-((2^8)-150)=-106
ex:10010110在2的補數表示法=10010110的相反+1=負的01101001+1=-106
ex:用2的補數表示法，69=01000101，-69＝10111010+1=10111011
exess(超碼表示法)
適合比較運算，不適合加法運算和相反數轉換
n個位元整數值範圍=-(2^(n-1)) ~ (2^(n-1)-1)
ex:10010110在超碼表示法=(128+16+4+2)-128=22
ex:用超碼表示法，69=11000101，-69=00111011=(32+16+8+2+1)-128
ps:1的補數與2的補數表示法也稱為有號數表示法
ps:nibble表示4bit，a word=2bytes=16bit
n=4,表示法比較表:
| 無號數 | 符號絕對 | 1的補數 | 2的補數 | 超碼 | |
| 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 | 0 1 2 3 4 5 6 7 | +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 | +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 | +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 | -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 |
| 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 | 8 9 10 11 12 13 14 15 | -0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 | -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -0 | -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 | +0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 |
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整數的加減運算
加法運算法則
做法：可用n-bit adder(n位元加法器)進行加法運算來產生n的合
若用1的補數表示法要設定進位旗標
ex:(5)+(-3)
1的補數表示法=(0101)+(1100)=1(0001)=(0001)+1=(0010)=2
2的補數表示法=(0101)+(1101)=1(0010)=2
產生的合若超出範圍則會出現arithmetic overflow(算術溢位)的中斷信號
判斷是否有arithmetic overflow方法：
有號數
無號數
減法運算法則
若用1的補數表示法要設定進位旗標
有號數
做法：先將減號轉成減號的補數，在使用n-bit adder進行加法運算來產生n的合
ex:使用1的補數,需考慮進位旗標
(5)-(-3)=(0101)-(1100)=(0101)+(0011)=(1000),overflow
(3)-(6)=(0011)-(0110)=(0011)+(1001)=(1100)=-3
ex:使用2的補數
(5)-(-3)=(0101)-(1101)=(0101)+(0011)=(1000),overflow
(3)-(6)=(0011)-(0110)=(0011)+(1010)=(1100)=-3
無號數
做法：先把兩個無號數視為有號數的正數，也就是最左邊多加1個符號位元並設為0，在採用有號數做法，並設定進位旗標
ex:無號數用4bit表示，使用2的補數法
(12)-(3)=(1100)-(0011)=12+3的補數=(1100)+(1101)=(1)(1001)=9
(3)-(12)=(0011)-(1100)=3+12的補數=(0011)+(0100)=(0)(0111),overflow
加減運算電路
half adder(半加器)
2個輸入變數，被加數x與加數y
2個輸出變數，carry(進位)與sum(和)
full adder(全加器)
3個輸入變數，被加數x與加數y和進位c
2個輸出變數，carry(進位)與sum(和)
parallel adder(平行加法器)/ripple adder(漣漪加法器)
使用n個全加器串連在一起
會有delay propagation(延遲累積)的問題
carry look-ahead adder(預先進位加法器)
無delay propagation的問題
使用carry generate signal(進位產生訊號)和carry propagate signal(進位傳遞訊號)
位元個數增加會導致複雜度大大增加
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整數的乘除運算
無號數的乘法運算法則
比有號數乘法運算簡單
硬體組織：n位元加法器電路，n位元暫存器*3，進位旗標，控制電路
無號數的除法運算法則
硬體組織：n位元加法器電路，n位元暫存器*3，符號旗標，控制電路
運算步驟
restoring division(恢復式除法)
non-restoring division(非恢復式除法)：效能較好
有號數的乘法運算法則
因為有符號位元所以要做sign extension(符號擴充)
硬體組織：
robertson algorithm(羅勃森運算法則)
直接對有號數進行乘法運算，不需將負的乘數轉換成正的乘數
booth algorithm(布氏運算法則)
對乘數進行skipping over 1s(跳過連續的1)的技巧編碼
處理正負乘數的方式都一樣
以加法或減法進行運算
若有連續的0或1的乘數，則會有較少運算，因此可加速完成乘法
平均效率至少與一般有號數乘法運算法則相同
步驟：
1將乘數由右而左，並對2和3處理n次
2乘數若相鄰兩個位元是01，則將被乘數加入乘積之中
若相鄰兩位元是10，則將被乘數取2’s補數再加入乘積之中
其餘階不運算
3將乘積部份往右移一位
bit-pair recoding method(位元對編碼方式)
處理正負乘數的方式都一樣
至多需要n/2次的加法運算
乘法電路硬體實作
微程式控制
產生一連串的加減法運算及shift(移位運算)的控制信號合力完成
電路簡單，但運算要極多計時週期
硬體線路控制
高效能電算機用，效能佳
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實數的表示法
fixed-point number(定點數表示法)：小數點是固定的，可表示範圍有限
floating-point number(浮點數表示法)：小數點是浮動的
floating-point number
1 浮點數欄位：[sign bit][exponent][mantissa]
sign bit(符號位元)：浮點數用符號絕對值表示法，因此最左邊的位元1表負數0表正數
mantissa(假數)/fraction(小數)：表示significant digit有效數字或precision精確度，最左邊需為非零的正規化格式
exponent(指數)：表示浮點數的可表示範圍，使用超碼表示法，因為較適合比較運算
ex:若長度為8bit,基底為2,則範圍是2^-128 ~ 2^127
ps:正規化過程就是，將小數點往左移或往右移到小數點右邊第一個數字不可為零
ex:0.00011就要小數點右移3位變成0.11
ex:110001.11就要小數點左移6位變成0.11000111
2 用小數部份與指數部份表示實數
3 實數的值= (1-2*s)*(0.m)*2^(e-n)
ex:設指數欄位5bit,假數10bit,採二進制正規化,則浮點數
+49.75=+(110001.11)*2^0=+(0.11000111)*2^6=(1-2*0)*(0.11000111)*2^(22-16)=[正][22][11000111填0到滿]=[0][10110][1100011100]
-356.875=-(101100100.111)*2^0=-(0.101100100111)*2^9=(1-2*1)*(0.101100100111)*2^(25-16)=[負][25][只取101100100111前10個]=[1][11001][1011001001]
-0.09375=-(0.00011)*2^0=-(0.11)*2^-3=(1-2*1)*(0.11)*2^(13-16)=[負][13][11填0到滿]=[1][01101][1100000000]
ps:5bit,採超16碼表示法,範圍在-16 ~ 15
ex:設浮點數格式為[1bit][3bit][4bit],則
01101000=[0][110][1000]=+(0.1000)*2^2=(10.00)=2
100000010=[1][000][0010]=-(0.0010)*2^-4=(0.00000010)=-1/128
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IEEE754浮點數表示法
1 採用2進位正規化且小數點最左邊隱含一個1,使用rounding處理guard bit
2 若將指數欄位所有位元設為0，表示underflow欠位，也就表示實數值太小無法表示
3 若將指數欄位所有位元設為1，表示overflow溢位，也就表示實數值太大無法表示
有兩種格式，如下：
single precision單倍精密度:32位元 [sign(1)][exponent(8)][fractional mantissa(23)]
實數的值= (1-2*s)*(1.f)*2^(e-127)
ex:-129.625=-(10000001.101)*2^0=-(1.0000001101)*2^7=(1-2*1)*(1.0000001101)*2^(134-127)
=[負][134][0000001101後接0一直到欄位滿]=[1][10000110][0000001101000000000000]
ps:134=127+7
ex:-1.5=-(1.1)*2^0=(1-2*1)*(1.1)*2^(127-127)
=[負][127][1後接0一直到欄位滿]=[1][01111111][1000000000000000000000]
double precision雙倍精密度:64位元 [sign(1)][exponent(11)][fractional mantissa(52)]
實數的值= (1-2*s)*(1.f)*2^(e-1023)
ps:浮點數的誤差有
round off error拾去誤差：儲存假數部份的長度有限而無法完全儲存而造成的誤差
truncation error截尾誤差：無法真正進行無窮多個運算而造成的誤差
ps:guard bit
說明：在浮點運算過程中，超過假數欄位長度的部份
最後表示結果時，處理這些位元以產生長度較短的進似值方法有：
chopping切斷：直接把guard bit捨棄，其餘位元完全不變，誤差：0 ~ 1
von neumann rounding范諾曼捨去：把guard bit去除，若其中一個位元為1，則把假數位元最右邊設為1，誤差：+1 ~ -1
rounding捨去：把guard bit去除，若guard bit最左邊位元為1，則把假數欄位最右邊位元設為1，誤差：+1/2 ~ -1/2
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實數的加減運算與電路
指數欄位的值需相同才可開始加減法運算，步驟為：
1比較指數大小：若是兩浮點數的指數相差n，則將指數較小者的假數右移n個位元
2設定指數：將最小者的指數欄位設成和最大者的指數欄位一樣
3假數相加(減) ：對原先兩個浮點數中的假數部份進行加(減)法
4正規化：如果假數不符合正規化格式，就需要在做一次正規化
ex:[0][11011][1001110100]+[1][01101][1100000000]
1 指數欄位[01101]比[11011]小14bit，所以將最小者的假數右移14個位元，並將指數設為11011
2 [1][01101][1100000000]的設定後變為[1][11011][0000000000]
3 [0][11011][1001110100]+[1][11011][0000000000]=[1][11011][1001110100]
4 [1][11011][1001110100]己符合正規化要求
ps:如果兩點浮點數指數相差大，則指數小的浮點數必須先將假數欄位右移，若有效數字超出假數欄位則會形成誤差
ex:欄位格式為[1bit][3bit][4bit],5/2+1/8=5/2,因為
[0][110][1010]+[0][010][1000]=[0][110][1010]+[0][110][0000]=[0][110][1010]=5/2
適合管線作業成為arithmetic pipeline(算術導管)，在處理大量浮點數相加運算時可大大提昇運算效率
ps:arithmetic pipeline只需處理data hazard(資料危機)
四階段導管設計的浮點數加法器：
stage1 加法器(比較指數)
stage2 移位器與多工器(假數右移與設定指數)
stage3 加法器(假數相加)
stage4 加法器與移位器(正規化)
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實數的乘除運算與電路
乘除運算步驟：
1指數相加：得到的結果必須用超碼表示法表示，在轉成二進位
2假數相乘：得到的結果超過欄位，則只保留前面留在欄位的部份
3正規化：如果假數不符合正規化格式，就需要在做一次正規化
ex:[0][10100][1001100000]*[1][10010][1111000000]
1指數欄位[10100]+[10010]=100110,在超碼表示法裡表示22(因為38-16),所以得到[10110]
2假數欄位[1001100000]*[1111000000]=[1000111010]
3得到[1][10110][1000111010]，己符合正規化